Rođen je 4. kolovoza 1946. godine u Miholašćici, no odmalena je bio stanovnik Malog Lošinja, u kojemu je završio osnovnu, a 1965. godine srednju školu, u smjeru nautičara, odradivši kadeturu na brodu "Lošinjske plovidbe". Godine 1971. završio je Ekonomski fakultet u Zagrebu, a 1979. godine stekao je zvanje magistra, radom "Perspektive razvoja otočne skupine Cres-Lošinj s posebnim osvrtom na razvoj ruralnih sredina".
Radio je u "Jadranci", u Općini Cres-Lošinj, od 1977. godine bio je direktor hotelskog poduzeća "Sunčana uvala" koje je potom pridruženo "Jadranci", gdje je potom bio direktor marketinga, pa direktor razvoja, a u međuvremenu je bio među realizatorima gradnje kampa "Slatina" u Martinšćici. Paralelno, u drugoj polovici osamdesetih godina, bio je predsjednik Turističkog društva Mali Lošinj, u vrijeme stjecanja titule "šampiona turizma" (1987. g.). Nakon toga, bio je u INA-i, u vrijeme izgradnje i otvaranja marine u Cresu početkom devedesetih godina, kojoj je bio direktor u izgradnji. Otamo odlazi za predsjednika uprave ACI-ja u Opatiju (1994.-1996.), a nakon toga u farmaceutsku tvrtku "Krka" iz Novog mesta, u njenom predstavništvu u Zagrebu.
Na lošinjsku scenu vratio se 2005. godine kandidiravši se na lokalnim izborima, na kojima je njegova nestranačka lista bila treća po broju dobivenih mjesta u Gradskom vijeću i zajedno s HDZ-om Garija Cappellija formirala novu većinu. U sljedeće četiri godine Mužić je bio predsjednik Gradskog vijeća te na mjestu savjetnika u "Vodovodu i čistoći Cres-Lošinj".
Bio je na dužnostima u sportskim organizacijama; 1983. godine predsjednik Teniskog kluba "Lošinj", od 1983. do 1987. godine predsjednik Sportskog društva "Lošinj", a kao prvi čovjek ACI-ja, 1995. je bio izabran za predsjednika Hrvatskog jedriličarskog saveza (povremeno je i nastupao na regatama krstaša). Povratkom u Mali Lošinj, od 2008. do 2012. godine bio je predsjednik Sportsko-ribolovnog društva "Udica", koje je 2010. godine bilo domaćin Svjetskog prvenstva u podvodnom ribolovu.
U siječnju 2017. dobio je priznanje "Pro Insula" Grada Cresa, za doprinos razvoju nautičkog turizma i Cresa kao turističke destinacije, na prijedlog Jedriličarskog kluba "Reful", u čijem je osnivanju sudjelovao.
Posljednji ispraćaj Milana Mužića bit će u srijedu u 18 sati na groblju u Malom Lošinju.
